Latihan Soal Matematika dan Pembahasan: Fungsi Kuadrat/Persamaan Kuadrat

Soal:

Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m = … ?

a. –12 

b. –6 

c. 6 

d. 8 

e. 12

Pembahasan:

Diketahui:

2x2+mx+16=0

akar-akar = α dan β

α = 2β, dan keduanya positif.

Untuk $ax^2 + bx + c = 0$

• Jumlah akar: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
​

Di soal:

• a = 2
• b = m
• c = 16

Jadi, hasil akarnya

karena α = 2β, maka

Karena positif → β = 2
Maka α = 2β = 4

Lalu, jumlahkan akar

α+β=4+2=6

Rumus jumlah akar:

Jadi, jawabannya a. -12

Kalau dicek balik:

2x² − 12x + 16 = 0

akar-akarnya memang 4 dan 2
​

Bilangan Fibonacci dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-hari

Sejarah Bilangan Fibonacci

Pola barisan 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... merupakan barisan bilangan Fibonacci. Penemu bilangan Fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175-1250). Beliau adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa. 

Fibonacci banyak menulis buku, salah satu yang terkenal dan menjadi tonggak awal penggunaan angka Arab adalah “Liber Abaci”. Pada bab 12 buku tersebut, terdapat sebuah permasalahan yang mampu mengusik akal sehat matematikawan, yaitu tentang masalah kelinci yang beranak-pinak. Pertanyaan sederhana tetapi diperlukan kejelian dalam berpikir. Inilah masalah yang terdapat dalam buku tersebut:

Bila diterjemahkan, “Seorang laki-laki menempatkan sepasang kelinci di tempat yang dikelilingi oleh dinding. Berapa banyak pasangan kelinci yang dapat dihasilkan dari sepasang kelinci dalam setahun jika setiap bulan masing-masing kelinci betina melahirkan sepasang baru dimulai dari bulan kedua?"

Dari gambar di atas, diketahui bahwa:

Sehingga Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan bilangan:

1   1   2   3   5   8   13   21   ...

Atau dinotasikan dengan

U1   U2   U3   U4   U5   U6   U7   U8   ...

Karena mencari banyak pasangan kelinci yang beranak-pinak dalam setahun, maka yang dimaksud adalah mencari U12 pada barisan bilangan tersebut.

Namun, sebelum barisan ini ditemukan di dunia Barat oleh Leonardo da Pisa, berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150 ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari

1. Untuk memperkirakan pergerakan harga

Metode Fibonacci banyak digunakan para trader untuk memperkirakan pergerakan harga. Ada dua rasio Fibonacci yang banyak digunakan dalam forex yaitu Fibonacci Retracement dan Fibonacci Extension.:

• Fibonacci Retracement Levels: 0.236, 0.382, 0.500, 0.618, 0.764
• Fibonacci Extension Levels: 0, 0.382, 0.618, 1.00, 1.382, 1.618

2. Menentukan nilai optimum dari suatu fungsi

Pencarian Fibonacci dapat dipakai untuk mencari maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk fungsi yang tidak kontinu.

3. Dunia musik

Tidak diduga, musik yang enak terdengar berasal  dari numerik  Fibonacci. Hal ini dapat dibuktikan pada beberapa bagian komposer  musik klasik pada Mozart dan Bethoven menggunakan seri Fibonacci.

4. Pada seni artistektur dan seni rupa

Rahasia angka Fibonacci yang disebut juga dengan Nisbah Emas (Phi) ini telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno. Pada zaman Mesir kuno nisbah emas ini digunakan untuk mendirikan bangunan bentuk pyramid. Nisbah Emas (Phi) ini juga digunakan dalam bidang seni, reka bentuk dan arsitek.

5. Untuk mendapatkan nilai rasio emas (golden rasio)

Rasio emas (golden rasio) diperoleh dari hasil bagi deret Fibonacci sebelumnya dimulai setelah deret ke-13. Deret ke-13 pada deretan angka Fibonacci adalah 233, yang jika dibagi dengan angka sebelumnya yaitu 144 menghasilkan angka 1,618 atau dengan kata lain rasio emas. Jika dilakukan pembagian serupa pada deret selanjutnya bahkan sampai deret tak hingga sekalipun, maka angka ini akan tetap bernilai sama, yaitu 1,618. Angka ini bernilai sama tanpa ada sedikitpun yang menyimpang.

Nilai rasio emas juga dapat ditemukan bahkan di dalam tubuh kita sendiri. Perbandingan jarak antar setiap anggota tubuh kita mendekati nilai rasio emas.

Hubungan kesesuaian “ideal” yang dikemukakan ada pada berbagai bagian tubuh manusia rata-rata dan yang mendekati nilai rasio emas dapat dijelaskan dalam sebuah bagan umum sebagaimana berikut: Nilai perbandingan M/m pada diagram berikut selalu setara dengan rasio emas. M/m = 1,618.

Contohnya:

• Bagian wajah

• Bagian tubuh

Referensi:

http://almer-farhan.blogspot.com/2012/03/komtek-deret-fibonacci-dan-kegunaannya.html

http://filmatbarbilfibo.blogspot.co.id/

http://lavoisierthewinner.blogspot.co.id/2012/08/hubungan-pola-alam-dan-matematika.html

https://handirizki.wordpress.com/2012/04/11/deret-fibonacci-di-alam-semesta/

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_Fibonacci

Fungsi Kuadrat

A.        Persamaan Kuadrat

1)      Bentuk umum persamaan kuadrat        : ax² + bx + c = 0, a ¹ 0

2)      Nilai determinan persamaan kuadrat    : D = b² – 4ac

3)      Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

4)      Pengaruh determinan terhadap sifat akar:

a)      Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda

b)      Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional

c)      Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)

5)      Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat

Jika x₁, dan x₂ adalah akar–akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka:

a)    Jumlah akar–akar persamaan kuadrat :

b)    Selisih akar–akar persamaan kuadrat   : , x₁ > x₂

c)    Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat    :

d)    Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

a.   =

b.  =

Catatan:

Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, bernilai 1, maka

1.      x₁ + x₂ = – b

2.     

3.      x₁ · x₂   = c

Bentuk persamaannya ngga bisa. Liat gambar. ⤵

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk BAKU  pertidaksamaan kuadrat adalah

ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c < 0, dan ax² + bx + c > 0

Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

            1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)

            2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x₁ dan x₂ (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya)

            3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:

 B.  Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahu x₁ dan x₂ adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru dengan akar–akar a dan b, dimana a = f(x₁) dan b = f(x₂) dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

1.   Menggunakan rumus, yaitu:

      x² – (a + b)x + a b = 0

      catatan :

      Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :

      a.        

b.         

2.   Menggunakan metode invers, yaitu jika a dan b simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:

      , dengan b^–1  invers dari b

      catatan:

      Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus:        (a + b)² = a² + 2ab + b²

Bentuk persamaannya ngga bisa. Liat gambar. ⤵

C. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat

1.      Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (x_e, y_e) dan sebuah titik tertentu (x, y):

2.      Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x₁, 0), (x₂, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y):                                       

D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

            Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h :  y = ax² + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.

TEOREMA

Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h :  y = ax² + bx + c.

Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat baru yaitu:

 y_h = y_g

ax² + bx + c  = mx + n

ax² + bx  – mx+ c – n  = 0

ax² + (b  – m)x + (c – n)  = 0………….Persamaan kuadrat baru

Determinan dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah:

D = (b – m)² – 4a(c – n)

Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:

1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik berlainan
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun menyinggung parabola h.